面内容是概率论中核心公式的体系整理，涵盖基本概念、随机变量、数字特征、极限定理及常见分布，便于快速查阅与应用：
一、概率基本公式
公式名称 | 数学表达式 | 说明 |
条件概率 | $$P(A|B) = fracP(AB)}P(B)}$$ | B发生条件下A的概率 |
乘法公式 | $$P(AB) = P(A) cdot P(B|A) = P(B) cdot P(A|B)$$ | 事件交集的概率分解 |
全概率公式 | $$P(B) = sum_i=1}^n} P(A_i) P(B|A_i)$$ | $A_i}$ 为完备事件组（互斥且并集为全集） |
贝叶斯公式 | $$P(A_i|B) = fracP(A_i) P(B|A_i)}sum_j=1}^n} P(A_j) P(B|A_j)}$$ | 根据结局反推缘故（先验→后验） |
事件独立性 | $$P(AB) = P(A)P(B)$$ | A、B相互独立 |
二、随机变量分布
1. 离散型分布
分布类型 | 概率质量函数（PMF） | 期望与方差 |
0-1分布 | $$P(X=k) = p^k (1-p)^1-k}, quad k=0,1$$ | $$E(X)=p, quad D(X)=p(1-p)$$ |
二项分布（$X sim B(n,p)$） | $$P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^n-k}$$ | $$E(X)=np, quad D(X)=np(1-p)$$ |
泊松分布（$X sim P(lambda)$） | $$P(X=k) = fraclambda^k e^-lambda}}k!}$$ | $$E(X)=lambda, quad D(X)=lambda$$ |
几何分布 | $$P(X=k) = (1-p)^k-1}p, quad k=1,2,cdots$$ | $$E(X)=frac1}p}, quad D(X)=frac1-p}p^2}$$ |
2. 连续型分布
分布类型 | 概率密度函数（PDF） | 期望与方差 |
均匀分布（$X sim U(a,b)$） | $$f(x) = begincases} frac1}b-a}, & a leq x leq b 0, &
xt其他} endcases}$$ | $$E(X)=fraca+b}2}, quad D(X)=frac(b-a)^2}12}$$ |
指数分布（$X sim E(lambda)$） | $$f(x) = begincases} lambda e^-lambda x}, & x > 0 0, &
xt其他} endcases}$$ | $$E(X)=frac1}lambda}, quad D(X)=frac1}lambda^2}$$ |
正态分布（$X sim N(mu,sigma^2)$） | $$f(x) = frac1}sqrt2pi}sigma} e^-frac(x-mu)^2}2sigma^2}}$$ | $$E(X)=mu, quad D(X)=sigma^2$$ |
标准正态分布 | $$f(x) = frac1}sqrt2pi}} e^-fracx^2}2}}$$ | $$E(X)=0, quad D(X)=1$$ |
三、随机变量数字特征
特征 | 公式 | 含义 |
数学期望 | $$E(X) = begincases} sum_k x_k p_k &
xt(离散)} int_-infty}^infty} x f(x) dx &
xt(连续)} endcases}$$ | 随机变量的平均值 |
方差 | $$D(X) = Eleft[ (X-E(X))^2 right] = E(X^2)
协方差 | $$
xtCov}(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))] = E(XY)
相关系数 | $$rho_XY} = frac
xtCov}(X,Y)}sqrtD(X)} sqrtD(Y)}}$$ | 标准化协方差（$|rho| leq 1$） |
四、极限定理
定理名称 | 公式/描述 | 意义 |
大数定律 | $$lim_n
infty} Pleft( left| frac1}n} sum_k=1}^n X_k
