复数的运算在数学中，复数是一种包含实数和虚数的数，通常表示为 $ a + bi $，其中 $ a $ 是实部，$ b $ 是虚部，$ i $ 是虚数单位，满足 $ i^2 = -1 $。复数的运算包括加法、减法、乘法、除法以及共轭等基本操作。下面内容是对复数运算的重点划出来。
一、复数的基本概念
| 概念 | 定义 |
| 复数 | 形如 $ a + bi $ 的数，其中 $ a, b \in \mathbbR} $，$ i = \sqrt-1} $ |
| 实部 | $ a $，复数中不带 $ i $ 的部分 |
| 虚部 | $ b $，复数中带 $ i $ 的部分 |
| 共轭复数 | $ a – bi $，实部相同，虚部相反 |
二、复数的运算制度
1. 加法
两个复数相加时，分别将它们的实部和虚部相加：
$$
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
$$
示例：
$ (3 + 2i) + (1 + 4i) = 4 + 6i $
2. 减法
两个复数相减时，同样分别对实部和虚部进行减法：
$$
(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
$$
示例：
$ (5 + 3i) – (2 + 1i) = 3 + 2i $
3. 乘法
复数的乘法遵循分配律，并利用 $ i^2 = -1 $ 进行化简：
$$
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac – bd) + (ad + bc)i
$$
示例：
$ (2 + 3i)(1 + 4i) = 2(1) + 2(4i) + 3i(1) + 3i(4i) = 2 + 8i + 3i + 12i^2 = 2 + 11i – 12 = -10 + 11i $
4. 除法
复数除法需要通过乘以共轭来分母有理化：
$$
\fraca + bi}c + di} = \frac(a + bi)(c – di)}(c + di)(c – di)} = \frac(ac + bd) + (bc – ad)i}c^2 + d^2}
$$
示例：
$ \frac3 + 4i}1 + 2i} = \frac(3 + 4i)(1 – 2i)}(1 + 2i)(1 – 2i)} = \frac3 – 6i + 4i – 8i^2}1 + 4} = \frac3 – 2i + 8}5} = \frac11 – 2i}5} = 2.2 – 0.4i $
5. 共轭复数
复数 $ a + bi $ 的共轭是 $ a – bi $，常用于除法运算中简化分母。
三、拓展资料
复数的运算虽然涉及虚数单位 $ i $，但其基本制度与实数类似，只是在处理 $ i^2 $ 时需要特别注意。掌握这些运算有助于进一步领会复数在几何、物理、工程等领域的应用。
| 运算类型 | 表达式 | 简要说明 |
| 加法 | $ (a + bi) + (c + di) $ | 实部与实部相加，虚部与虚部相加 |
| 减法 | $ (a + bi) – (c + di) $ | 实部与实部相减，虚部与虚部相减 |
| 乘法 | $ (a + bi)(c + di) $ | 分配律展开后合并同类项 |
| 除法 | $ \fraca + bi}c + di} $ | 乘以分母的共轭以消除虚数部分 |
| 共轭 | $ a – bi $ | 实部不变，虚部符号相反 |
怎么样经过上面的分析内容的进修，可以体系地掌握复数的基本运算技巧，为后续进修复数的极坐标形式、模与幅角等内容打下坚实基础。
